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INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
MODELOS DE LINEA DE ESPERA (TEORIA DE COLAS)
PRONÓSTICOS CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
 
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
   
   
DEFINICIÓN


Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales
Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:


VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (x).
Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo:
X Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).
PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X)
p(xi)<1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1.

E p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.

EJEMPLO

Para variable aleatoria discreta

Tenemos una moneda que al lanzarla puede dar sólo dos resulatdos: o cara (50%), o cruz (50%).
La siguiente tabla nos muestra los posibles resultados de lanzar dos veces una moneda:
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Al realizar la tabla de distribución del número posible de caras que se obtiene al lanzar una moneda dos veces, obtenemos:
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VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (x).


Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo. Por ejemplo:
x es la Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral (14.8 gr, 12.1, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …, n)
PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X)
p(x) Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero.

El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1.
ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO

El valor esperado de una Variable Aleatoria X es el promedio ponderado de todos los valores posibles de la misma. DNode los pesos son las probabilidades asociadas con los valores.

Para calcular el valor esperado de una variable aleatoria por su correspondiente probabilidad y luego sumar los términos resultante.

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria tiene sus orígenes en los juegos de azar, debido a que los apostadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar repetidamente un juego, por lo tanto, el valor esperado representa la cantidad de dinero promedio que el jugador está dispuesto a ganar o perder después de un número grande de apuestas.

E(x) = µ = E xf (x)
VARIANZA

Es un promedio ponderado de las de las desvaciones al cuadrado.

Varianza = E ( x - µ )² f ( x)
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL



La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.

Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, y el suceso B , llamado fracaso.
* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra.


* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.


Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:
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Donde:
P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del
evento
p = es la probabilidad de éxito del evento (en un intento)

q = es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) (se define como q = 1 – p )

X = ocurrencia del evento o éxitos deseados
n = número de intentos


EJEMPLO

¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces ?

Donde:
P(X)= Probabilidad de que ocurra el evento
p = (0.5)
q = (se define como q = 1 – p ) (0.5)
X = 2
n = 6

Al sustituir los valores en la fórmula obtenemos:
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La posibilidad de obtener dos caras al lanzar una moneda 6 veces es de 0.234375

Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han construido tablas para algunos valores de  n  y  p  que nos facilitan el trabajo (Ver las tablas de la función de probabilidad Binomial).

Para una combinación de n y p, la entrada indica una probabilidad de obtener un valor específico de r.
Para localizar la entrada, cuando p8804;0.50, localice p a lo largo del encabezado de la tabla, y en la columna correspondiente localice n y r en el margen izquierdo; cuando p8805;0.50, localice el valor de p en la parte inferior de la tabla, y n y r arriba, en el margen derecho.

Tenemos p = 0.50, n = 6 y r = 2 obteniendo resultado directo de tablas
P(2 caras) = 0.2344
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DISTRIBUCIÓN DE POISSON


La distribución de POISSON es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, el cual debe su nombre a Siméon Denis Poisson (1781-1840), un francés que la desarrolló a partir de los estudios que realizó durante la última etapa de su vida.

Es útil cuando tratamos con cantidades de ocurrencia de un evento a lo largo de un intervalo de tiempo o espacio especificado.

Esta distribución se utiliza para describir ciertos procesos.


Características:
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc:
- # de defectos de una tela por m2
- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.
- # de bacterias por cm2 de cultivo
- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.
- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.
Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:
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donde:

p(X) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es /
/= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
e = 2.718 (base de logaritmo neperiano o natural)
X = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra
 
Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

EJEMPLO

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? (e= 2.718281828)
 
Resolviendo para :
a) x = 4; / = 6 cheques sin fondo por día

Comprobando (sustituyendo en la fórmula):

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Por lo tanto la probabilidad de que el banco reciba cuatro cheques sin fondo en un día dado es de 0.133853 (13.39%)

Valores directos para determinar probabilidades de Poisson.
Para un valor dado de /, la entrada indica la probabilidad de obtener un valor específico de X
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Para el ejemplo, inciso a) que estamos viendo: ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba cuatro cheques sin fondo en un día dado?
Tenemos  x = 4; / = 6 cheques sin fondo por día; obteniendo resultado directo de tablas :
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DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria contínua, fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media (µ) y su desviación estándar (&#963;). Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:
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que determina la curva en forma de campana que tan bien conocemos.
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Existen dos razones básicas por las cuales la distribución normal ocupa un lugar tan prominente en la estadística :


Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en la que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.

La distribución normal casi se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas, resultados de procesos físicos y muchas otras medidas de interés para los administradores, tanto en el sector público como en el privado.
Propiedad:
No importa cuáles sean los valores de µ y &#963; para un distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva siempre es 1, de manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades. Matemáticamente es verdad que:

Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1 desviación estándar de la media.

Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviaciones estándar de la media.

Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3 desviaciones estándar de la media.
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Relación entre el área bajo la curva de distribución normal de probabilidad y la distancia a la media medida en desviaciones estándar.
Estas gráficas muestran tres formas diferentes de medir el área bajo la curva normal. Sin embargo, muy pocas de las aplicaciones que haremos de la distribución normal de probabilidad implican intervalos de exactamente (más o menos) 1, 2 ó 3 desviaciones estándar a partir de la media. Para estos casos existen tablas estadísticas que indican porciones del área bajo la curva normal que están contenidas dentro de cualquier número de desviaciones estándar (más o menos) a partir de la media.
Afortunadamente también podemos utilizar una distribución de probabilidad normal estándar para encontrar áreas bajo cualquier curva normal. Con esta tabla podemos determinar el área o la probabilidad de que la variable aleatoria distribuida normalmente esté dentro de ciertas distancias a partir de la media. Estas distancias están definidas en términos de desviaciones estándar.

USO DE LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORLAM DE PROBABILIDAD NORMAL STANDAR

Para cualquier distribución normal de probabilidad, todos los intervalos que contienen el mismo número de desviaciones estándar a partir de la media contendrán la misma fracción del área total bajo la curva para cualquier distribución de probabilidad normal. Esto hace que sea posible usar solamente una tabla (Apéndice Tabla 1) de la distribución de probabilidad normal estándar.


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El valor de z está derivado de la fórmula:
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En la que:
x = valor de la variable aleatoria que nos preocupa.
µ = media de la distribución de la variable aleatoria.
&#963; = desviación estándar de la distribución.
z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la
distribución. (el uso de z es solamente un cambio de escala de medición del
eje horizontal)
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Distribución normal que ilustra la comparación de los valores de z y las desviaciones estándar
EJEMPLO.

Partiendo de la misma premisa, µ = 500
y &#963; = 100. ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas en completar el programa de entrenamiento?
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Si buscamos Z=1.5 (refiérase a la tabla), encontramos una probabilidad de 0.4332.

Por lo tanto, la probabilidad de que un candidato escogido al azar requiera entre 500 y 650 horas para terminar el programa de entrenamiento es de 0.4332
     
     
   
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