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INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
MODELOS DE LINEA DE ESPERA (TEORIA DE COLAS)
PRONÓSTICOS CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
 
INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES
   
   
PROBABILIDAD
Es una medida númerica de la posibilidad de que ocurra un evento. Las medidas de la probabilidad siempre se asignan de 0 a 1.
Una probabilidad cerca a 0 indica que es poco probable que ocurra un evento y una probabilidad cerca de 1 indica de que es casi seguro de que ocurra el evento.
EXPERIMENTO

Cualquier proceso que genere resultados bien definidos.

ESPACIO MUESTRAL

Conjunto de todos los puntos muestrales. Es decir el conjunto de todos los resultados posibles para el mismo.

PUNTO MUESTRAL

Es un resultado experimental y tambien un elemento del espacio muestral.
EJEMPLO
En un proceso de control de calidad, el inspector selecciona una pieza terminada para inspección. El inspector a continuación determina si la pieza tiene algún defecto importante, un defecto menor o no tiene defectos. Considere la selección y clasificación de la pieza como un experimento. Enliste los puntos muestrales o eventos simples para el experimento.

RESPUESTA

Los puntos muestrales o eventos simples son:
No efecto importante
Un defecto menor
No tiene defectos.
EJEMPLO

Experimento:

Lanzar un dado

Resultados Experimentales:


1,2,3,4,5,y 6

Espacio muestral:

S { 1,2,3,4,5,6}
METODO CLÁSICO
Es cuando se usa la suposicion de resultados igualmente probables como una base para asignar probabilidades . Si un experimento tiene n resultados posibles el metodo clasico asigna una probabilidad de 1/n a cada resultado experimental.
El metodo clasico fue elaborado para analizar probabilidades en los juegos de azar donde la suposicion de resultados igualmete probables frecuente es razonables.

Probabilidad

1/6 = 0.1666

la probabilidad de obtener un número particular en el lanzamiento de un dado es 0.1666
METODO SUBJETIVO

Es utilizado para asignar probabilidades apropiando cuando no supone de manera realista que todo resultado experimentales son iguales probables y cuando se dispone de pocos datos relevantes.

Ejemplo:

Al comprar una casa se hace una oferta:

Dos posibilidades :

La oferta es aceptada ó la oferta es rechazada

COMPLEMENTO DEL EVENTO A
El evento que contiene todos los puntos muestrales, no existentes en A.
DIAGRAMA DE VENN
Dispositivo gráfico para representar el espacio muestra y las operaciones que involucran eventos.
INTERSECCIÓN DE EVENTOS A y B
El evento que contiene todos los puntos muestrales existentes, tanto en A como en B.
UNION DE EVENTO A y B
El evento que contiene todos los puntos muestrales existentes en A, en B, o en ambos.
LEY DE LA ADICIÓN
Una ley de probabilidades utilizada para calcular la probabilidad de una unión:
P(A ² B) = P(A) + P(B) – P(A ³ B). Para eventos mutuamente exclusivos, P(A ³ B) = 0 y se reduce a
P(A U B) = P(A) + P(B).
EJEMPLO
Hay 15 clínicas en una ciudad. De ellas, 6 no cumplen las reglas sanitarias y 8 no
cumplen los requisitos de seguridad. 5 clínicas no cumplen ni los requisitos de seguridad ni las reglas sanitarias.
Si se elige una clínica para inspeccionar al azar, ¿cual es la probabilidad de que cumpla ambos reglamentos?

SOLUCION

Sea A el suceso de que cumple las reglas sanitarias y B el suceso de que cumple los requisitos de seguridad.

Si elegimos una clínica al azar, tenemos

P(A) = 6/15
P(B) = 8/15
P( A y B) =5/15

Deducimos que P(A) = P(A) = 9/15 y también que P(B) = 7/15.

(A o B)y(A y B) = ?
Luego P(A o B) = P(AyB) = 10/15

Calcular P(A y B).

P(A o B) = P(A)+P(B); P(A y B)

P(A y B) = 9/15 + 7/15 *10/15 = 6/15 = 2/5
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Eventos que no tienen ningún punto muestral en común; esto es:
A ³ B está vacío y P(A ³ B) = O.
PROBABILIDAD CONJUNTA
La probabilidad de la intersección de dos eventos.
TABLA DE PROBABILIDADES CONJUNTAS
Tabla utilizada para mostrar probabilidades conjuntas y marginales.
PROBABILIDAD MARGINALES
Los valores en los márgenes de la tabla de probabilidades conjuntas, que proporcionan la probabilidad de cada evento por separado.
Eventos dependientes Dos eventos A y B, donde P(A I B) ; P(A) o P(B I A) ; (B); esto es, la probabilidad de que un evento sea alterado o afectado al saberse que ocurre otro evento.
EVENTOS INDEPENDIENTES
Dos eventos A y B donde

P(A I B) = P(A) y P(B I A) = P(B); esto es, eventos que no tienen influencia uno sobre otro.
LEY DE LA MULTIPLICACIÓN
Una ley de probabilidad utilizada para calcular la probabilidad de una intersección:

P(A y B) = P(A|B)P(B).

EJEMPLO

Se dan dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean copas?

Sea A (B) el suceso de que la primera (segunda) carta sea copa. se quiere
P(A y B).

SOLUCIÓN

Ahora P(A) = 10 /40 y P(B|A) = 9/39
porque si la primera carta es copa, quedan 39 cartas, nueve de ellos siendo copas.
Luego P(A y B) = (10/40)× (9/39) = 3/52
PROBABILIDADES PREVIAS
Probabilidades iniciales de eventos.
PROBABILIDADES POSTERIORES
Probabilidades de eventos revisadas con base en información adicional.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Probabilidad de que ocurra un evento dado que ha ocurrido otro evento. La probabilidad condicional de A DADO P(A/B) = P(A n B) / P(B)

EJEMPLO

Durante el mes cero cierto producto es preferido por el 60% del mercado y otros varios por el resto. Los clientes compran una vez al mes . Si alguien compra el producto A, la probabilidad que lo vuelva a comprar en el siguiente mes es de 75% y de un 25% de que se cambie. Si un cliente compra un producto de la competencia en un mes la probabilidad que se cambie al producto A es de 45% y 55% de que permanezca fiel a la marca de la competencia. Encuentre el porcentaje de participación esperado en el mercado por A al final del segundo mes.


SOLUCION:


Aquí realizaremos un diagrama de árbol donde definiremos primero la probabilidad de aceptación en el primer mes por el producto A que en este caso seria el 60%, y el 40% seria el del producto de la competencia.

Para sacar las probabilidades del segundo mes primero debemos de hacerlo para el producto A donde del 60% que compran aquí el 75% sigue comprando este producto y el 25% se cambia al otro producto. Para los que en el primer mes compraron el producto de la competencia que era el 40% , en el segundo mes que compraron el 45% se cambio al producto A y el 55% siempre compró el producto de la competencia , tomando encuentra que el porcentaje es igual a la probabilidad de cada uno por lo que nuestro diagrama del árbol quedaría de esta forma:

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En este caso solo nos interesa que en el segundo mes o sea al final los clientes compren el producto A, esto quiere decir, que solo vamos a tomar encuentra los porcentajes de aceptación del producto A, ya sea que desde el inicio compro el producto A o no pero que al final si compro A.

Por lo que nos quedaría de esta forma:

P( C ) = ( 0.6*0.75) + (0.4*0.45) = 0.63

Donde el primer paréntesis representa que al inicio prefiere A y luego permanece en A, y el segundo paréntesis representa que al inicio prefiere B pero que luego al final prefiere A. Obteniendo así las 2 formas donde terminan comprando al final el producto A.

También se puede hacer de la siguiente forma:

P( C ) = (A 1 A 2 ) U (B 1 A 2 )

P( C ) =

P(A 1 )* P(A 2 /A 1 )+ P(B 1 )* P(A 2 /B 1)

En donde:

P(A)= 0.6

P(B)= 0.4

P(A 2 /A 1 ) = 0.75

P(B 2 /A 1 )= 0.25

P(B 2 /B 1 )= 0.55

P(A 2 /B 1 )= 0.45

Por lo que nos quedaría de la siguiente forma:

P( C ) =(0.6)* (0.75)+ (0.4)* ( 0.45) =0.63
TEOREMA DE BAYES



Método utilizado para calcular probabilidades posteriores.
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Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.

Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.

Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.

EJEMPLO

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
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La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos:

I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.
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